حل تمرین 1و2 صفحه 28 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم سلام! برای حذف **قدر مطلق** و نوشتن ضابطه توابع به صورت **چندضابطه‌ای**، باید علامت عبارت یا عبارت‌های داخل قدر مطلق را در بازه‌های مختلف بررسی کنیم. --- ### الف) $f(x) = x|x|$ عبارت داخل قدر مطلق، $x$ است. صفر عبارت، $x=۰$ است. * **حالت ۱ ($\mathbf{x \ge ۰}$)**: $|x| = x$ $$f(x) = x(x) = x^۲$$ * **حالت ۲ ($\mathbf{x < ۰}$)**: $|x| = -x$ $$f(x) = x(-x) = -x^۲$$ **ضابطه نهایی:** $$\mathbf{f(x) = \begin{cases} x^۲, & x \ge ۰ \\ -x^۲, & x < ۰ \end{cases}}$$ --- ### ب) $g(x) = |x^۲ - ۱|$ عبارت داخل قدر مطلق، $x^۲ - ۱$ است. صفرهای این عبارت $x^۲ - ۱ = ۰ \implies x = \pm ۱$ هستند. * **حالت ۱ ($\mathbf{x^۲ - ۱ \ge ۰}$)**: $|x^۲ - ۱| = x^۲ - ۱$. (خارج ریشه‌ها) $$\mathbf{x \le -۱ \quad \text{یا} \quad x \ge ۱}$$ * **حالت ۲ ($\mathbf{x^۲ - ۱ < ۰}$)**: $|x^۲ - ۱| = -(x^۲ - ۱) = -x^۲ + ۱$. (بین ریشه‌ها) $$\mathbf{-۱ < x < ۱}$$ **ضابطه نهایی:** $$\mathbf{g(x) = \begin{cases} x^۲ - ۱, & x \le -۱ \quad \text{یا} \quad x \ge ۱ \\ -x^۲ + ۱, & -۱ < x < ۱ \end{cases}}$$ --- ### پ) $h(x) = |x - ۱| + |x + ۱|$ در اینجا دو قدر مطلق داریم. باید کل محور اعداد را بر اساس صفرهای هر دو عبارت ($x-۱=۰ \implies x=۱$ و $x+۱=۰ \implies x=-۱$) تقسیم کنیم. این کار سه بازه ایجاد می‌کند: | بازه | علامت $|x-۱|$ | علامت $|x+۱|$ | ضابطه $h(x) = |x-۱| + |x+۱|$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | **$\mathbf{x < -۱}$** | $-(x-۱) = -x+۱$ | $-(x+۱) = -x-۱$ | $(-x+۱) + (-x-۱) = -۲x$ | | **$\mathbf{-۱ \le x < ۱}$** | $-(x-۱) = -x+۱$ | $x+۱$ | $(-x+۱) + (x+۱) = ۲$ | | **$\mathbf{x \ge ۱}$** | $x-۱$ | $x+۱$ | $(x-۱) + (x+۱) = ۲x$ | **ضابطه نهایی:** $$\mathbf{h(x) = \begin{cases} -۲x, & x < -۱ \\ ۲, & -۱ \le x < ۱ \\ ۲x, & x \ge ۱ \end{cases}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم سلام! این یک مسئله کلامی است که مفهوم **فاصله روی محور اعداد** را با استفاده از **قدر مطلق** بیان می‌کند. ### گام اول: تشکیل معادله قدر مطلقی فرض می‌کنیم نقطه مورد نظر روی محور طول‌ها $\mathbf{x}$ باشد. * **فاصله $x$ از نقطه $۱$**: $|x - ۱|$ * **فاصله $x$ از نقطه $-۳$**: $|x - (-۳)| = |x + ۳|$ **شرط مسئله**: مجموع این دو فاصله برابر ۶ باشد. $$\mathbf{|x - ۱| + |x + ۳| = ۶}$$ ### گام دوم: حل معادله به روش جبری (تعیین علامت) صفرهای عبارت‌های داخل قدر مطلق $x=۱$ و $x=-۳$ هستند. محور اعداد به سه بازه تقسیم می‌شود: * **حالت ۱ ($\mathbf{x < -۳}$)**: * $|x-۱| = -(x-۱) = -x+۱$ * $|x+۳| = -(x+۳) = -x-۳$ معادله: $(-x+۱) + (-x-۳) = ۶ \implies -۲x - ۲ = ۶ \implies -۲x = ۸ \implies \mathbf{x = -۴}$ **بررسی**: $-۴ < -۳$. **قابل قبول**. * **حالت ۲ ($\mathbf{-۳ \le x < ۱}$)**: * $|x-۱| = -(x-۱) = -x+۱$ * $|x+۳| = x+۳$ معادله: $(-x+۱) + (x+۳) = ۶ \implies ۴ = ۶$. **بررسی**: $۴ = ۶$ **نادرست** است. در این بازه **جوابی وجود ندارد**. * **حالت ۳ ($\mathbf{x \ge ۱}$)**: * $|x-۱| = x-۱$ * $|x+۳| = x+۳$ معادله: $(x-۱) + (x+۳) = ۶ \implies ۲x + ۲ = ۶ \implies ۲x = ۴ \implies \mathbf{x = ۲}$ **بررسی**: $۲ \ge ۱$. **قابل قبول**. ### نتیجه‌گیری نهایی نقاطی که مجموع فاصله‌های آن‌ها از ۱ و $-۳$ برابر ۶ است، $\mathbf{x = -۴}$ و $\mathbf{x = ۲}$ هستند. **نکته مفهومی**: فاصله بین دو نقطه $A=۱$ و $B=-۳$ روی محور اعداد برابر است با $|۱ - (-۳)| = ۴$. اگر مجموع فاصله‌ها از $A$ و $B$، یعنی ۶، **بزرگتر** از فاصله بین $A$ و $B$ باشد (چون $۶ > ۴$)، جواب در دو طرف خارج بازه $[-۳, ۱]$ قرار می‌گیرد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم برای حل این تمرین، از تعریف اصلی **قدر مطلق** استفاده می‌کنیم: $\mathbf{|a - b|}$ بیانگر **فاصله بین $a$ و $b$** است. --- ### الف) فاصله بین $x$ و $۳$ برابر $۷$ است. * **معادله قدر مطلقی**: $$\mathbf{|x - ۳| = ۷}$$ * **حل معادله**: $$x - ۳ = ۷ \quad \text{یا} \quad x - ۳ = -۷$$ $$x = ۱۰ \quad \text{یا} \quad x = -۴$$ * **نمایش روی محور**: دو نقطه توپر در $x=-۴$ و $x=۱۰$. --- ### ب) دو برابر فاصله بین $x$ و $۶$ برابر $۴$ است. * **معادله قدر مطلقی**: $$۲|x - ۶| = ۴$$ $$\mathbf{|x - ۶| = ۲}$$ * **حل معادله**: $$x - ۶ = ۲ \quad \text{یا} \quad x - ۶ = -۲$$ $$x = ۸ \quad \text{یا} \quad x = ۴$$ * **نمایش روی محور**: دو نقطه توپر در $x=۴$ و $x=۸$. --- ### پ) فاصله بین $x$ و $-۳$ بزرگ‌تر از $۲$ است. * **نامعادله قدر مطلقی**: (توجه: فاصله بین $x$ و $-۳$ برابر $|x - (-۳)|$ است) $$|x - (-۳)| > ۲$$ $$\mathbf{|x + ۳| > ۲}$$ * **حل نامعادله**: $$x + ۳ > ۲ \quad \text{یا} \quad x + ۳ < -۲$$ $$x > -۱ \quad \text{یا} \quad x < -۵$$ * **نمایش روی محور**: دو ناحیه باز: $(-\infty, -۵)$ و $(-۱, +\infty)$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم این تمرین شامل یک **معادله کسری با قدر مطلق** و یک **معادله گنگ** است. در هر دو مورد، بررسی دامنه و شرایط پاسخ الزامی است. --- ### الف) $\frac{۲ - x}{|x - ۳|} = ۱$ **گام ۱: تعیین دامنه و شرایط** * **دامنه**: مخرج نباید صفر باشد: $|x - ۳| \ne ۰ \implies \mathbf{x \ne ۳}$. * **شرط**: چون کسر برابر با ۱ است، صورت و مخرج باید برابر باشند و صورت باید مثبت باشد: $۲ - x > ۰ \implies \mathbf{x < ۲}$. **گام ۲: ساده‌سازی معادله** با توجه به شرط $x < ۲$، عبارت داخل قدر مطلق ($x-۳$) همواره **منفی** است (زیرا $x < ۲ \implies x-۳ < -۱$). پس $|x - ۳| = -(x - ۳) = ۳ - x$. معادله به صورت زیر درمی‌آید: $$\frac{۲ - x}{۳ - x} = ۱$$ **گام ۳: حل معادله** $$۲ - x = ۳ - x$$ $$۲ = ۳$$ **بررسی**: تساوی $۲=۳$ **نادرست** است. **نتیجه**: این معادله $\mathbf{جواب \text{ندارد}$ (با توجه به دامنه $x<۲$ و $x \ne ۳$). --- ### ب) $\sqrt{x^۲ - ۲x + ۱} = ۲x + ۱$ **گام ۱: ساده‌سازی رادیکال و تعیین شرط** * **ساده‌سازی**: عبارت زیر رادیکال یک اتحاد مربع کامل است: $$\sqrt{(x - ۱)^۲} = |x - ۱|$$ معادله به صورت: $|x - ۱| = ۲x + ۱$ * **شرط**: چون سمت راست معادله برابر با یک قدر مطلق است، باید نامنفی باشد: $$\mathbf{۲x + ۱ \ge ۰ \implies x \ge -\frac{۱}{۲}}$$ **گام ۲: حل معادله با روش تعریف قدر مطلق** صفر عبارت داخل قدر مطلق $x=۱$ است. دو حالت را در محدوده $athbf{x \ge -\frac{۱}{۲}}$ بررسی می‌کنیم: * **حالت ۱ ($\mathbf{x \ge ۱}$)**: $|x - ۱| = x - ۱$ $$x - ۱ = ۲x + ۱ \implies -۲ = x$$ **بررسی**: $x = -۲$. با شرط $x \ge ۱$ در تناقض است. **(ریشه زاید)**. * **حالت ۲ ($\mathbf{-\frac{۱}{۲} \le x < ۱}$)**: $|x - ۱| = -(x - ۱) = -x + ۱$ $$-x + ۱ = ۲x + ۱$$ $$۰ = ۳x \implies \mathbf{x = ۰}$$ **بررسی**: $x = ۰$. با شرط $-\frac{۱}{۲} \le x < ۱$ سازگار است. **(قابل قبول)**. **نتیجه**: تنها جواب معادله $\mathbf{x = ۰}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم این تمرین شامل دو بخش مجزا برای حل معادلات با استفاده از **روش‌های جبری و هندسی** است. --- ### الف) تابع $y = \frac{x}{|x|}$ و حل معادله $\frac{x}{|x|} = ۲$ **۱. رسم نمودار $y = \frac{x}{|x|}$** ضابطه را به صورت چندضابطه‌ای می‌نویسیم (دامنه: $x \ne ۰$): $$\frac{x}{|x|} = \begin{cases} \frac{x}{x} = ۱, & x > ۰ \\ \frac{x}{-x} = -۱, & x < ۰ \end{cases}$$ * **نمودار**: یک تابع پله‌ای است. برای $x$های مثبت، $y=۱$ و برای $x$های منفی، $y=-۱$. در $x=۰$ تعریف نشده است. **۲. حل معادله $\frac{x}{|x|} = ۲$** * **روش جبری**: چون برد تابع $y = \frac{x}{|x|}$ فقط شامل اعداد $۱, -۱$ است، پس $\frac{x}{|x|}$ هرگز نمی‌تواند برابر $۲$ شود. * **روش هندسی**: خط افقی $y=۲$ هرگز نمودار $y = \frac{x}{|x|}$ را قطع نمی‌کند (زیرا نمودار فقط در $y=۱$ و $y=-۱$ وجود دارد). **جواب معادله**: $\mathbf{جواب \text{ندارد}}$ --- ### ب) تابع $y = |x^۲ - ۶x|$ و حل معادله $|x^۲ - ۶x| = ۲$ **۱. رسم نمودار $y = |x^۲ - ۶x|$** * **نمودار اصلی ($y = x^۲ - ۶x$)**: سهمی رو به بالا با ریشه‌های $x(x-۶) = ۰ \implies x=۰$ و $x=۶$. رأس آن در $x_s = \frac{۰+۶}{۲} = ۳$ و $y_s = 3^۲ - ۶(۳) = 9 - ۱۸ = -۹$. رأس در $(۳, -۹)$. * **اعمال قدر مطلق**: قسمت پایین محور $x$ (بازه $۰ < x < ۶$) قرینه می‌شود. رأس به $\mathbf{(۳, ۹)}$ منتقل می‌شود. **۲. حل معادله $|x^۲ - ۶x| = ۲$** * **روش هندسی**: خط افقی $\mathbf{y=۲}$ نمودار $|x^۲ - ۶x|$ را در **چهار نقطه** قطع می‌کند. پس $athbf{۴}$ جواب وجود دارد. * **روش جبری**: از ویژگی $|A|=c \implies A = c \quad \text{یا} \quad A = -c$ استفاده می‌کنیم. * **حالت ۱ ($x^۲ - ۶x = ۲$):** $$x^۲ - ۶x - ۲ = ۰$$ $$\Delta = (-۶)^۲ - ۴(۱)(-۲) = ۳۶ + ۸ = ۴۴ \implies x = \frac{۶ \pm \sqrt{۴۴}}{۲} = \frac{۶ \pm ۲\sqrt{۱۱}}{۲}$$ $$\mathbf{x_{۱,۲} = ۳ \pm \sqrt{۱۱}}$$ * **حالت ۲ ($x^۲ - ۶x = -۲$):** $$x^۲ - ۶x + ۲ = ۰$$ $$\Delta = (-۶)^۲ - ۴(۱)(۲) = ۳۶ - ۸ = ۲۸ \implies x = \frac{۶ \pm \sqrt{۲۸}}{۲} = \frac{۶ \pm ۲\sqrt{۷}}{۲}$$ $$\mathbf{x_{۳,۴} = ۳ \pm \sqrt{۷}}$$ **جواب معادله**: $\mathbf{۳ \pm \sqrt{۱۱}, ۳ \pm \sqrt{۷}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم سلام! این تمرین شامل یک تابع با **چندین قدر مطلق تودرتو** است. برای رسم نمودار و حل معادله، ابتدا باید تابع را مرحله به مرحله رسم و سپس به روش جبری و هندسی حل کنیم. --- ### الف) رسم نمودار تابع $\mathbf{f(x) = | |x| - ۲ |}$ از رسم نمودار به صورت **مرحله به مرحله** استفاده می‌کنیم: 1. **رسم $y = x$**: خط اصلی با شیب ۱. 2. **رسم $y = |x|$**: قرینه کردن قسمت $x < ۰$ نسبت به محور $y$ (نمودار 'V' شکل، رأس در $(۰, ۰)$). 3. **رسم $y = |x| - ۲$**: نمودار مرحله قبل را **دو واحد به پایین** منتقل می‌کنیم. رأس از $(۰, ۰)$ به $(۰, -۲)$ منتقل می‌شود. ریشه‌ها در $x=\pm ۲$ به دست می‌آیند. 4. **رسم $y = | |x| - ۲ |$**: قدر مطلق نهایی، قسمت‌های پایین محور $x$ (بازه $-۲ < x < ۲$) را نسبت به محور $x$ **قرینه** می‌کند. رأس‌ها در $\mathbf{(-۲, ۰)}$, $\mathbf{(۲, ۰)}$ و یک رأس ماکزیمم در $\mathbf{(۰, ۲)}$ خواهیم داشت. نمودار شبیه یک حرف 'W' است. --- ### ب) حل معادله $\mathbf{| |x| - ۲ | = ۱}$ **۱. روش جبری (حذف قدر مطلق از خارج به داخل)** معادله $|A| = ۱ \implies A = ۱ \quad \text{یا} \quad A = -۱$. * **حالت ۱:** $|x| - ۲ = ۱ \implies |x| = ۳ mplies \mathbf{x = \pm ۳}$ * **حالت ۲:** $|x| - ۲ = -۱ \implies |x| = ۱ mplies \mathbf{x = \pm ۱}$ **جواب‌های جبری**: $\mathbf{-۳, -۱, ۱, ۳}$ **۲. روش هندسی** جواب‌های معادله، نقاط تلاقی نمودار $y = | |x| - ۲ |$ و خط افقی $\mathbf{y=۱}$ هستند. * خط $y=۱$ را روی نمودار رسم می‌کنیم (در ارتفاع $y=۱$). * مشاهده می‌کنیم که خط $y=۱$ نمودار 'W' شکل ما را در **چهار نقطه** قطع می‌کند. * **طول این نقاط**: $x=-۳, x=-۱, x=۱, x=۳$ (که با جواب‌های جبری مطابقت دارند). **نتیجه**: این معادله $\mathbf{۴}$ جواب دارد: $\mathbf{-۳, -۱, ۱, ۳}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۲۸ حسابان یازدهم این تمرین به شما کمک می‌کند تا همزمان مهارت‌های رسم نمودار قدر مطلقی و حل معادله متناظر را تمرین کنید. --- ### الف) رسم نمودار تابع $\mathbf{f(x) = |x^۲ - ۲x|}$ 1. **نمودار اصلی ($y = x^۲ - ۲x$)**: یک سهمی رو به بالا است. * **ریشه‌ها**: $x(x - ۲) = ۰ \implies x=۰$ و $x=۲$. * **رأس سهمی**: $x_s = \frac{۰+۲}{۲} = ۱$. $y_s = ۱^۲ - ۲(۱) = -۱$. رأس در $(۱, -۱)$. 2. **اعمال قدر مطلق**: قسمت پایین محور $x$ (بازه $۰ < x < ۲$) را نسبت به محور $x$ **قرینه** می‌کنیم. رأس از $(۱, -۱)$ به $\mathbf{(۱, ۱)}$ منتقل می‌شود. --- ### ب) حل معادله $\mathbf{|x^۲ - ۲x| = ۲}$ **۱. روش هندسی** جواب‌های معادله، نقاط تلاقی نمودار $y = |x^۲ - ۲x|$ و خط افقی $\mathbf{y=۲}$ هستند. * خط $y=۲$ را رسم می‌کنیم. * نمودار سهمی از $(۰, ۰)$ بالا می‌رود، در $(۱, ۱)$ ماکزیمم می‌شود و سپس در $(۲, ۰)$ دوباره به صفر می‌رسد و مجدداً بالا می‌رود. * مشاهده می‌کنیم که خط افقی $y=۲$ نمودار را در **چهار نقطه** قطع می‌کند. پس **۴ جواب** داریم. **۲. روش جبری** از ویژگی $|A|=c \implies A = c \quad \text{یا} \quad A = -c$ استفاده می‌کنیم. * **حالت ۱: $x^۲ - ۲x = ۲$** $$x^۲ - ۲x - ۲ = ۰$$ $$\Delta = (-۲)^۲ - ۴(۱)(-۲) = ۴ + ۸ = ۱۲$$ $$\mathbf{x_{۱,۲} = \frac{۲ \pm \sqrt{۱۲}}{۲} = \frac{۲ \pm ۲\sqrt{۳}}{۲} = ۱ \pm \sqrt{۳}}$$ * **حالت ۲: $x^۲ - ۲x = -۲$** $$x^۲ - ۲x + ۲ = ۰$$ $$\Delta = (-۲)^۲ - ۴(۱)(۲) = ۴ - ۸ = -۴$$ چون $\Delta < ۰$ است، این حالت **ریشه حقیقی ندارد**. **جواب معادله**: $\mathbf{۱ + \sqrt{۳}}$ و $\mathbf{۱ - \sqrt{۳}}$ **بررسی نتیجه هندسی و جبری**: در روش هندسی، به درستی ۴ محل تقاطع را نشان دادیم. اما در روش جبری، فقط دو ریشه واقعی به دست آمد. علت این است که در **روش هندسی**، ما به اشتباه نقاط تلاقی را در بازه $۰ < x < ۲$ هم شمردیم. در این بازه، $x^۲-۲x$ منفی است و به صورت قرینه شده درآمده، که معادله $\mathbf{-(x^۲ - ۲x) = ۲}$ یا $x^۲ - ۲x = -۲$ را می‌دهد که دیدیم جواب ندارد. تنها دو نقطه تلاقی واقعی، در خارج از این بازه هستند (جایی که $|x^۲-۲x|=x^۲-۲x$ است). **نتیجه اصلاح شده**: معادله $\mathbf{۲}$ جواب دارد: $\mathbf{۱ + \sqrt{۳}, ۱ - \sqrt{۳}}$.